EBOOK VS ALGEBRA SUPERIOR

Contenido

Acerca de los autores        ix

Prologo  xi

Unidad 1 Lógica y conjuntos        1

1.1  Lógica matemática  2

       Definición de proposición  3

       Tautologías y absurdos  6

       Proposiciones equivalentes  6

       Argumentos y demostraciones  7

       Algunas propiedades del símbolo "|—"      (se puede demostrar)  15

       El cálculo proposicional es consistente y completo  15

       Cuantificadores  18

1.2  Conjuntos          20

       Introducción  20

1.3  Conceptos primitivos, definiciones, axiomas y teoremas  22

       Contención de conjuntos  22

       Nuevos conjuntos  23

       El conjunto vacío y el conjunto universal  23

       Familia de conjuntos  24

       Uniones  24

1.4  Algebra de conjuntos  25

       Intersecciones  25

       Diferencias  25

       Complemento  25

       El conjunto potencia  25

1.5  Producto cartesiano  25

       Pareja ordenada  25

       Relaciones y funciones  26

       Algunas propiedades del producto cartesiano  27

1.6  Suma y producto booleanos  28

       Una representación gráfica  28

1.7  Algunas demostraciones en la teoría de conjuntos  31

1.8  El concepto de función  32

       Algebra de funciones  33

Unidad 2  Sistemas de ecuaciones lineales, matrices y determinantes  35

2-1  Sistemas de ecuaciones lineales    36

       Introducción  36

2-2  Matrices  41

       Igualdad de matrices  42

       Algunos tipos de matrices  42

       Operaciones con matrices  44

       Operaciones elementales en los renglones  46

       Sistemas de ecuaciones lineales    47

       Como seleccionar los parámetros  53

       Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones  55

       Representación generalizada  58

       Balanceo de ecuaciones químicas. Método algebraico  58

       Ejemplos de balanceo de reacciones químicas  59

2.3  Análisis dimensional  71

       Dimensión  71

       Método de Rayleigh  72

       Método de Buckingham         74

2.4  Determinantes  80

       Cálculo de determinantes  82

Unidad 3  Sistemas numéricos  85

3.1  El sistema de los números reales  86

       Axiomas de campo  86

       Algunas propiedades de campo de los números reales  89

       Axiomas de orden  95

       Subsistemas de los números reales  98

       Axioma de completez  100

       Algunas representaciones de los números reales  102

3.2  Números complejos  110

       El modelo de Gauss y la inmersión de R en C  113

       La conjugación  114

       La norma           116

       La ecuación general de segundo grado  117

       Sistemas de ecuaciones  120

       Representación geométrica de los números complejos  122

       Raices n-esimas de un numero complejo  126

       El argumento de un numero complejo  128

       La función exponencial compleja  128

       Representación geométrica de algunas rectas bajo la transformación E  130

       La función logaritmo  131

       Las funciones trigonométricas  132

Unidad 4 Polinomios y teoría de ecuaciones   135

4.1  Polinomios  136

       Suma y multiplicación  136

       Grado  137

       Inmersión de K en K [x]  138

       Algoritmo de la división          139

4.2  Funciones polinomiales        140

       Teorema del residuo  141

       Raíces de ecuaciones polinomiales  141

       Teorema del factor  142

       Algoritmo de la división sintética  143

       Raíces complejas         148

       Raíces "surd"  149

       Las ecuaciones generales de 2°, 3° y 4° grados   155

4.3  Algunos resultados de la teoría de números y su aplicación a los polinomios

       y a las funciones polinomiales  159

       Máximo común divisor de dos enteros (algoritmo de Euclides)  164

       Fracciones parciales  166

4.4  Métodos numéricos  168

       Introducción  168

       Error  168

       Calculo de raíces de ecuaciones     170

       Método de iteración de punto fijo  171

       Método de bisección  175

       Método de Newton-Raphson  178

       Aplicaciones  181

       Estimación de las constantes de la ecuación de estado de Van der Waals  193

Unidad 5  Algebra lineal  197

5.1  Grupos abelianos (o conmutativos)  198

5.2  Anillos, dominios enteros y campos  199

5.3  Homomorfismos          200

5.4  Espacios vectoriales  201

       Dependencia e independencia lineal. Bases y dimensión  203

       Dimensión  204

5.5  Producto escalar, norma y métrica en Rn  205

       Norma  205

       Distancia           207

       Ángulos y ortogonalidad         207

       Conjuntos y bases ortogonales  209

       Proyecciones  210

       Aplicaciones  212

5.6  Producto vectorial  213

       Definición  213

       Analogía con la solución como determinante  214

       Interpretación geométrica de la norma del producto vectorial  215

       Algunas propiedades del producto vectorial  216

5.7  Triple producto escalar  217

       Definiciones  217

       Interpretación geométrica  217

5.8  Rectas y pianos  218

       Las rectas en Rn  218

       Una ecuación de la recta que pasa por dos puntos  218

       Angulo entre rectas  219

       Pianos en R3  219

       Una ecuación del piano que pasa por tres puntos no colineales  220

       Ecuación normal del piano  220

       Ángulo entre pianos  220

       Ángulo entre recta y piano  220

5.9  Transformaciones lineales  221

Anexo 1  225

       Combinatoria  225

       Principio fundamental del conteo (PFC)  226

       Permutaciones  227

       Numero de subconjuntos       229

Anexo 2  230

       La función determinante        230

       Sobre la existencia de la función determinante   233

       Regla de Cramer          234

Anexo 3  236

       Teoremas sobre funciones  236

       Demostraciones de los teoremas     236

       Funciones inducidas por una función  239

Anexo 4  240

       Relaciones  240

       Relaciones de orden  241

       Relaciones de equivalencia  243

       Relaciones de equivalencia y particiones  244

       Tres ejemplos importantes  245

       Una representación de relaciones  245

Anexo 5  247

Transformaciones lineales  247

Núcleo o kernel e imagen de una transformación lineal  249

Matriz asociada a una transformación lineal    252

Respuestas a los ejercicios  255

Índice analítico  271

Álgebra Superior tiene como propósito principal sentar los cimientos básicos del álgebra en un nivel universitario. La selección de los contenidos, objetivos de aprendizaje y, en especial, la determinación de la extensión y profundidad de lo abordado, así como la manera de presentar los temas, son resultado de la vasta experiencia de los autores como docentes y de un largo proceso de discusión académica

Los autores tomaron como directriz fundamental producir un texto que facilitara el aprendizaje a las personas interesadas en los temas de esta materia, transmitiendo los conceptos de una forma precisa, pero con un adecuado balance entre la formalidad deseada y el nivel académico de los usuarios de esta obra.

Una de las bondades de este material es que reúne, en un solo documento, temas que se tratan de forma aislada en la mayoría de los libros convencionales de algebra superior. En el se desarrollan los temas de: lógica matemática y teoría de conjuntos; sistemas de ecuaciones lineales, matrices y determinantes; sistemas numéricos, números reales y complejos; teoría de ecuaciones y fundamentos de algebra lineal. Adicionalmente el material anterior esta enriquecido con la inclusión de un conjunto de aplicaciones, tales como: balanceo de ecuaciones químicas, análisis dimensional, solución analítica de ecuaciones de tercer y cuarto grados, solución numérica de ecuaciones de grado superior como la de Van Der Waals, así como de ecuaciones trascendentes.